On considère la suite \((u_n)_{n\in\N}\) définie par \(u_0=1\) et, pour \(n\geq 0\), \(u_{n+1}=\dfrac{u_n}{u_n +1}\).
1
Soit \(f\) la fonction définie sur \(]-1;+\infty[\) par : \(f(x)=\dfrac{x}{x+1}\). Montrer que si \(x\in [0;1]\), alors \(f(x)\in [0;1]\).
2
Montrer que pour tout \(n\geq 0\), \(u_n\in[0;1]\).
3
Étudier le signe de \(f(x)-x\) sur \(]-1;+\infty[\).
4
Montrer que \((u_n)_{n\in\N}\) est décroissante.
5
En déduire que \((u_n)_{n\in\N}\) converge.
6
Déterminer la limite de \((u_n)_{n\in\N}\).