\(f\) est définie et dérivable sur \(\R\), comme produit de fonctions trigonométrique et d’exponentielle. On dérive en deux temps puisqu’on a un triple produit. On pose \(u:x\mapsto \cos(x)\sin(2x)\) et \(v:x\mapsto \eu{x}\). Alors : \[\begin{align*} \forall~x\in \R,\, f'(x) &= u'(x)v(x)+u(x)v'(x) \\ &= \left(-\sin(x)\sin(2x)+\cos(x)2\cos(2x)\right)\eu{x}+\cos(x)\sin(2x)\eu{x}\\ &= \eu{x}\left( 2\cos(x)\cos(2x)-\sin(x)\sin(2x)+\cos(x)\sin(2x)\right) \end{align*}\] \(\tan\) est définie et dérivable sur son domaine de définition \(\mathcal{D}_{\tan}=\left \{ x\in \R,\, x\not \equiv \frac{\pi}{2} [\pi] \right \}\), et \(\sin\) l’est sur \(\R\). Puisque pour tout \(x\), \(2+\sin(x)\neq 0\), on en déduit par quotient que \(g\) est définie et dérivable sur \(\mathcal{D}_{\tan}\). On a alors : \[\begin{align*} \forall~x\in \mathcal{D}_{\tan},\,g'(x) &= \frac{(1+\tan^2(x))(2+\sin(x))-\tan(x)\cos(x)}{(2+\sin(x))^2} \end{align*}\] Enfin, racine est définie sur \(\R^+\) et dérivable sur \(\R_+^*\). \(x\mapsto \ln(1+x)\) est définie et dérivable sur \(\left]-1,\,+\infty\right[\). Ainsi, \(h\) est définie sur \(\R^+\) et est dérivable sur \(\R_+^*\). On a alors : \[\begin{align*} \forall~x\in R>,\, h'(x) &= \frac{1}{2\sqrt{x}}\ln(1+x) + \sqrt{x}\frac{1}{1+x} \end{align*}\]

Je dérive, je dérive