La réflexion d’axe d’équation \(y=2x+1\) est représentée par une application de la forme \[\C\to \C, z\mapsto a\overline z+b,\] où \(a \in \C^*\) et \(b\in \C\) sont des paramètres à déterminer. On sait que \(a\) est le nombre complexe de module un dont l’argument est le double de l’angle entre l’axe des abscisses et l’axe de la réflexion. Donc dans ce cas, \(a=e^{2i \arctan(2)}\). On peut aussi calculer la forme algébrique de \(a\) en écrivant \(a=\frac{(1+2i)^2}{|(1+2i)^2|} = \frac{-3+4i}{5}\).

Calculons \(b\). On peut par exemple injecter un affixe particulier \(z\) et son image \(z'\) dans l’équation \(z'=\frac{-3+4i}{5} \overline z+b\) et obtenir \(b\). Le plus simple est de prendre l’affixe d’un point sur l’axe de la réflexion, qui est donc un point fixe de la réflexion. Prenons par exemple \(z=i=z'\). On obtient l’égalité \(i =\frac{3-4i}{5} i+b\), d’où \(b=i\left(1-\frac{3-4i}{5}\right) = i\frac{2+4i}{5} = \frac{-4+2i}{5}\).

Finalement, la réflexion d’axe d’équation \(y=2x+1\) est représentée par l’application: \[\C\to \C, z\mapsto \frac{(-3+4i)\overline z-4+2i}{5}.\]

exo7 7146