Racines carrées. Soit \(z= a+ib\) un nombre complexe avec \(a,b \in \Rr\) ; nous cherchons les complexes \(\omega \in \Cc\) tels que \(\omega^2 = z\). Écrivons \(\omega = \alpha + i \beta\). Nous raisonnons par équivalence : \[\begin{align*} \omega^2 = z & \Leftrightarrow (\alpha +i \beta)^2 = a+ib \\ & \Leftrightarrow \alpha^2-\beta^2+2i\alpha\beta = a +i b \\ \intertext{Soit en identifiant les parties réelles entre elles ainsi que les parties imaginaires :}\\ & \Leftrightarrow \begin{cases} \alpha^2-\beta^2 = a \\ 2\alpha\beta = b \end{cases} \\ \intertext{Sans changer l'équivalence nous rajoutons la condition $|\omega|^2 = |z|$.} & \Leftrightarrow \begin{cases} \alpha^2 + \beta^2 = \sqrt{a^2+b^2} \\ \alpha^2-\beta^2 = a \\ 2\alpha\beta = b \end{cases} \\ \intertext{Par somme et différence des deux premières lignes :} & \Leftrightarrow \begin{cases} \alpha^2 =\frac{a+ \sqrt{a^2+b^2}}{2} \\ \beta^2 = \frac{-a+ \sqrt{a^2+b^2}}{2} \\ 2\alpha\beta = b \end{cases} \\ & \Leftrightarrow \begin{cases} \alpha =\pm \sqrt{\frac{a+ \sqrt{a^2+b^2}}{2}} \\ \beta = \pm \sqrt{ \frac{-a+ \sqrt{a^2+b^2}}{2}} \\ \alpha\beta \text{ est du même signe que } b \end{cases} \\ \end{align*}\] Cela donne deux couples \((\alpha,\beta)\) de solutions et donc deux racines carrées (opposées) \(\omega = \alpha + i\beta\) de \(z\).

En pratique on répète facilement ce raisonnement, par exemple pour \(z = 8-6i\), \[\begin{align*} \omega^2 = z &\Leftrightarrow (\alpha +i \beta)^2 = 8-6i\\ &\Leftrightarrow \alpha^2-\beta^2+2i\alpha\beta = 8-6i\\ &\Leftrightarrow \begin{cases} \alpha^2-\beta^2 = 8\\ 2\alpha\beta = -6 \end{cases} \\ &\Leftrightarrow \begin{cases} \alpha^2 + \beta^2 = \sqrt{8^2+(-6)^2} = 10 \text{ le module de $z$} \\ \alpha^2-\beta^2 = 8 \\ 2\alpha\beta = -6 \end{cases}\\ &\Leftrightarrow \begin{cases} 2\alpha^2 =18 \\ \beta^2 = 1 \\ 2\alpha\beta = -6 \end{cases}\\ &\Leftrightarrow \begin{cases} \alpha =\pm \sqrt{9} = \pm 3 \\ \beta = \pm 1 \\ \alpha \text{ et } \beta \text{ de signes opposés} \end{cases} \\ &\Leftrightarrow \begin{cases} \ \ & \alpha = 3 \text{ et } \beta = - 1\\ \text{ou}&\\ \ \ &\alpha = -3 \text{ et } \beta = +1 \\ \end{cases} \\ \end{align*}\]

Les racines de \(z = 8-6i\) sont donc \(\omega_1 = 3-i\) et \(\omega_2 = -\omega_1 = -3+i\).

Pour les autres :

Les racines carrées de \(1\) sont : \(+1\) et \(-1\).
Les racines carrées de \(i\) sont : \(\frac{\sqrt 2}{2}(1+i)\) et \(-\frac{\sqrt 2}{2}(1+i)\).
Les racines carrées de \(3+4i\) sont : \(2+i\) et \(-2-i\).
Les racines carrées de \(7+24i\) sont : \(4+3i\) et \(-4-3i\).

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