exo7 6297

Soient \(\rho, \theta, \varphi\) les coordonnées sphériques dans \(\Rr^3\). On pose \(\sin \varphi = t\). Montrer que, pour qu’une fonction de la forme \(f(x,y,z) = \rho^n P(t)\), où \(n\) est un entier \(\geq 0\), soit harmonique, il faut et il suffit que la fonction \(t \mapsto P(t)\) soit solution de l’équation différentielle (dite de Legendre) : \[\begin{equation}(1 - t^2) P''(t) - 2t P'(t) + n(n + 1) P(t) = 0.\tag*{$(D_n)$}\end{equation}\] Pour \(n = 0,1,2,3,4,5\), vérifiez, en le calculant par la méthode des coefficients indéterminés, qu’il y a un polynôme \(P_n(t)\), et un seul, de degré \(n\), solution de \((D_n)\), et tel que \(P_n(1) = 1\). [Remarque : ce fait vaut pour tout \(n\) ; les polynômes \(P_n\) s’appellent polynômes de Legendre].