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Une fonction \(f:U \subset \Rr^n \to \Rr\) est dite harmonique si \(\sum_{i=1}^n \frac{\partial^2 f}{\partial x_i^2}(x) = 0\) pour tout \(x\in U\). Une fonction \(f(x,y)\) est dite radiale si ses valeurs au point \((x,y)\) ne dépendent que de la distance \(r = \sqrt{x^2 + y^2}\) à l’origine, c’est à dire si \(f(x,y) = F(r) = F(\sqrt{x^2 + y^2})\), où \(F = F(r)\) est une fonction d’une seule variable.
Montrez que les seules fonctions radiales et harmoniques, dans \(\Rr^2\) privé de l’origine, sont les fonctions \(C \ln(r) + D = C \ln( \sqrt{x^2 + y^2}) + D\), où \(C\) et \(D\) sont des constantes.