Soit \(U\) l’ouvert \(\Rr^3\) privé de l’axe des \(z\).
1
Vérifiez que la fonction \(f(x,y,z)\), qui vaut \(e^z \cos {\theta\over 2}{\sin r\over \sqrt r}\) en coordonnées cylindriques, est harmonique sur \(U\).
2
Soit \(\lambda\) une constante réelle. Montrer qu’une fonction du type \(\displaystyle f(x,y,z) = e^z \cos (\lambda \theta) u(r)\) est harmonique dans \(U\) si et seulement si \(u = u(r)\) est solution de l’équation différentielle (dite de Bessel) : \[\begin{equation}r^2 u''(r) + r u'(r) + [r^2 - \lambda^2] u (r) = 0.\tag*{$(E_\lambda)$}\end{equation}\]
3
Vérifiez, que pour \(\lambda = 3/2\), la fonction \(\displaystyle u(r) = {\sin r - r \cos r\over r \sqrt r}\) convient.