Nous associons à la matrice \(A\) son application linéaire naturelle \(f\). Si \(\mathcal{B}=(e_1,e_2,\ldots,e_n)\) est la base canonique de \(\Rr^n\) alors \(f(e_1)\) est donné par le premier vecteur colonne, \(f(e_2)\) par le deuxième, etc. Donc ici \[f(e_1)=\begin{pmatrix}0\\ \vdots \\ 0 \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix}=e_n, \ f(e_2)= \begin{pmatrix}0\\ \vdots \\ 0 \\ 1 \\0 \end{pmatrix}=e_{n-1},... \quad \text{ et en général } f(e_i) = e_{n+1-i}\] Calculons ce que vaut la composition \(f\circ f\). Comme une application linéaire est déterminée par les images des éléments d’une base alors on calcule \(f\circ f(e_i)\), \(i=1,\ldots,n\) en appliquant deux fois la formule précédente : \[f\circ f(e_i) = f\big( f(e_i) \big) = f(e_{n+1-i})=e_{n+1-(n+1-i)}=e_i\] Comme \(f\circ f\) laisse invariant tous les vecteurs de la base alors \(f\circ f (x)=x\) pour tout \(x\in \Rr^n\). Donc \(f\circ f=\mathrm{id}\).

On en déduit \(f^{-1}=f\) et que la composition itérée vérifie \(f^{p}=\mathrm{id}\) si \(p\) est pair et \(f^{p}=f\) si \(p\) est impair. Conclusion : \(A^p=I\) si \(p\) est pair et \(A^p=A\) si \(p\) est impair.

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