Notons \(A=(a_{ij})\), notons \(B = {}^{t}\!{A}\) si les coefficients sont \(B=(b_{ij})\) alors par définition de la transposée on a \(b_{ij}= a_{ji}\).

Ensuite notons \(C = A \times B\) alors par définition du produit de matrices le coefficients \(c_{ij}\) de \(C\) s’obtient par la formule : \[c_{ij} = \sum_{k=1}^n a_{ik}b_{kj}.\]

Appliquons ceci avec \(B = {}^{t}\!{A}\) \[c_{ij} = \sum_{k=1}^n a_{ik}b_{kj} = \sum_{k=1}^n a_{ik}a_{jk}.\] Et pour un coefficient de la diagonale on a \(i=j\) donc \[c_{ii} = \sum_{k=1}^n a_{ik}^2.\]

La trace étant la somme des coefficients sur la diagonale on a : \[\text{tr} (A \ {}^{t}\!{A}) = \text{tr} (C) = \sum_{i=1}^n c_{ii} = \sum_{i=1}^n \sum_{k=1}^n a_{ik}^2 = \sum_{1\le i,k \le n} a_{ik}^2.\]

Si on change l’indice \(k\) en \(j\) on obtient \[\text{tr} (A \ {}^{t}\!{A}) = \sum_{1\le i,j \le n} a_{ij}^2.\]

Donc cette trace vaut la somme des carrés de tous les coefficients.

Conséquence : si \(\text{tr} (A \ {}^{t}\!{A}) = 0\) alors la somme des carrés \(\sum_{1\le i,j \le n} a_{ij}^2\) est nulle donc chaque carré \(a_{ij}^2\) est nul. Ainsi \(a_{ij}=0\) (pour tout \(i,j\)) autrement dit \(A\) est la matrice nulle.

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