Soit \(I\) une image discrète et \(T_d(I)\) l’image \(I\) translatée de \(d\) pixels vers la droite, définie par \([T_d(I)](i,j) = I(i, j-d)\). On note \(\star\) la convolution 2D discrète : \[(I \star K)(i,j) = \sum_{m,n} I(i-m,\, j-n)\, K(m,n).\]
Démontrer formellement que \(T_d(I) \star K = T_d(I \star K)\).
Pourquoi cette propriété est-elle précieuse pour la reconnaissance d’objets dans une image ?
Le max pooling brise-t-il cette propriété d’équivariance ? Illustrer sur un exemple 1D avec un signal \([0, 1, 0, 3]\), un signal translaté d’un pixel \([0, 0, 1, 0]\) (bord droit ignoré), et pool size \(= 2\).
Malgré cette rupture, pourquoi dit-on que le max pooling confère une certaine invariance par translation ? Distinguer équivariance et invariance.