On note \(r\) le rang de \(A\). Si \(r=0\), \(A\) est nulle et donc \(B\) est nulle.

Sinon, il existe deux matrices carrées inversibles \(P\) et \(Q\) de format \(n\) telles que \(A=PJ_rQ\) où \(J_r=\left( \begin{array}{cc} I_r&0\\ 0&0 \end{array} \right)\). Soient \(P'=\left( \begin{array}{cccc} P&0&\ldots&0\\ 0&\ddots&\ddots&\vdots\\ \vdots&\ddots&\ddots&0\\ 0&\ldots&0&P \end{array} \right)\in\mathcal{M}_{np}(\Cc)\) et \(Q'=\left( \begin{array}{cccc} P&0&\ldots&0\\ 0&\ddots&\ddots&\vdots\\ \vdots&\ddots&\ddots&0\\ 0&\ldots&0&Q \end{array} \right)\in\mathcal{M}_{np}(\Cc)\). Puisque \(\text{det}(P')=(\text{det}(P))^p\neq0\) et \(\text{det}(Q')=(\text{det}(Q))^p\neq0\), les matrices \(P'\) et \(Q'\) sont inversibles. De plus, un calcul par blocs montre que

\(B=\left( \begin{array}{cccc} PJ_rQ&0&\ldots&0\\ 0&\ddots&\ddots&\vdots\\ \vdots&\ddots&\ddots&0\\ 0&\ldots&0&PJ_rQ \end{array} \right)=P'J_r'Q'\) où \(J_r'=\left( \begin{array}{cccc} J_r&0&\ldots&0\\ 0&\ddots&\ddots&\vdots\\ \vdots&\ddots&\ddots&0\\ 0&\ldots&0&J_r \end{array} \right)\).

La matrice \(B\) est équivalente a la matrice \(J_r'\) et a donc même rang que \(J_r'\). Enfin, en supprimant les lignes nulles et les colonnes nulles, on voit que la matrice \(J_r'\) a même rang que la matrice \(I_{pr}\) à savoir \(pr\). Dans tous les cas, on a montré que

\(\text{rg}B =p\text{rg}A\).

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