Soit l’équation différentielle sur \([0,T]\) : \[(E) \begin{cases} y'(t) = f(t,y(t)) \\ y(0) = a, \end{cases}\] où \[f(t,y)=\cos(t^2+y),\quad a=0,\quad T=1.\]
Pour approcher la solution de \((E)\), on propose le schéma numérique suivant : \(h=T/N\), \(t_n=nh\), \(y_0=a\) et \[(S) \colon y_{n+1} = y_n + \frac{h}{3}\left( f(t_n,y_n)+2f\left(t_n+ \frac{3h}{4},y_n+\frac{3h}{4}f(t_n,y_n) \right) \right)\]
1
Montrer que \(f\) est globablement lipschitzienne par rapport à la variable \(y\).
2
En déduire que le schéma numérique proposé est zéro-stable.
3
Montrer que le schéma numérique est consistant d’ordre au moins \(2\).
4
Le schéma est-il convergent ?