La fonction \(f\) est \(1\)-périodique, continue par morceaux sur \(\Rr\). On peut donc calculer ses coefficients de Fourier.

\[\]

La fonction \(f\) a mêmes coefficients de Fourier que la fonction \(g~:~x\mapsto\left\{ \begin{array}{l} f(x)\;\text{si}\;x\notin\Zz\\ 0\;\text{si}\;x\in\Zz \end{array} \right.\) qui est impaire. Donc, \(\forall n\in\Nn\), \(a_n(f)=0\) puis pour \(n\in\Nn^*\)

\[\begin{align*}\ensuremath b_n(f)&=\frac{2}{1}\int_{0}^{1}f(t)\sin\left(\frac{2n\pi t}{1}\right)\;dt=\int_{0}^{1}(2t-1)\sin(2n\pi t)\;dt\\ &=\left[-\frac{(2t-1)\cos(2n\pi t)}{2n\pi}\right]_0^1+\frac{1}{n\pi}\int_{0}^{1}\cos(2n\pi t)\;dt=\left(-\frac{1}{2n\pi}-\frac{1}{2n\pi}\right)+0\\ &=-\frac{1}{n\pi}. \end{align*}\]

La fonction \(f\) est de plus de classe \(C^1\) par morceaux sur \(\Rr\) et d’après le théorème de Dirichlet, en tout réel \(x\), la série de Fourier de \(f\) converge et a pour pour somme \(\frac{1}{2}(f(x^+)+f(x^-))\). En particulier,

\(\forall x\in\Rr\setminus\Zz\), \(f(x)=x-E(x)-\frac{1}{2}=-\sum_{n=1}^{+\infty}\frac{\sin(2n\pi x)}{n\pi}\).

Soit \(p\in\Nn^*\). Pour \(n\in\Nn^*\),

\[\begin{align*}\ensuremath b_n(f_p)&=2\int_{0}^{1}f(pt)\sin(2n\pi t)\;dt=2\int_{0}^{p}f(u)\sin\left(2n\pi \frac{u}{p}\right)\frac{du}{p}\\ &=\left[-\frac{(2t-1)\cos(2n\pi t)}{2n\pi}\right]_0^1+\frac{1}{n\pi}\int_{0}^{1}\cos(2n\pi t)\;dt=\left(-\frac{1}{2n\pi}-\frac{1}{2n\pi}\right)+0\\ &=-\frac{1}{n\pi}. \end{align*}\]

Remarque. Soient \(p\in\Nn^*\) et \(x\in[0,1]\setminus\left\{ \frac{k}{p},\;k\in\llbracket0,p\rrbracket\right\}\). Alors \(px\notin\Zz\) et donc

\(f_p(x)=f(px)=-\sum_{n=1}^{+\infty}\frac{\sin(2np\pi x)}{n\pi}=\sum_{k=1}^{+\infty}b_{k,p}\sin(2k\pi x)\)

où \(\forall k\in\Nn^*\), \(b_{k,p}=\left\{ \begin{array}{l} 0\;\text{si}\;k\notin p\Zz\\ -\frac{1}{\frac{k}{p}\pi}\;\text{si}\;k\in p\Zz \end{array} \right.\) mais malheureusement, on ne peut pas récupérer ces coefficients car la série obtenue ne converge pas normalement.

\(\forall(p,q)\in(\Nn^*)^2\), \(\int_{0}^{1}f_q(x)f_q(x)\;dx=\frac{\left(\text{PGCD}(p,q)\right)^2}{12pq}\).

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