La durée de vie d’un matériel est modélisée par une variable aléatoire \(X\) suivant une loi de Weibull \(\mathcal{W}\!\left(\lambda, \frac{1}{2}\right)\) de densité : \[f(x, \lambda) = \frac{1}{2\lambda\sqrt{x}}\exp\!\left(-\frac{\sqrt{x}}{\lambda}\right)\mathbf{1}_{\mathbb{R}^+}(x),\] dont l’espérance vaut \(\mathbb{E}(X) = 2\lambda\) et la variance \(\mathbb{V}(X) = 20\lambda^2\).
Soit \((X_1, \ldots, X_n)\) un \(n\)-échantillon i.i.d. de loi \(\mathcal{W}\!\left(\lambda, \frac{1}{2}\right)\).
Déterminer l’estimateur du maximum de vraisemblance \(\hat{\lambda}\) de \(\lambda\).
Montrer que \(\dfrac{2}{\lambda}\sqrt{X}\) suit une loi du \(\chi^2\) dont on précisera le paramètre. En déduire que \(\dfrac{2}{\lambda}\displaystyle\sum_{i=1}^n \sqrt{X_i} \sim \chi^2(2n)\).
En déduire la loi de \(\dfrac{2n\hat{\lambda}}{\lambda}\), puis le biais et la variance de \(\hat{\lambda}\). L’estimateur \(\hat{\lambda}\) est-il convergent ?