Soient \(\vec a, \vec b, \vec c, \vec d\) quatre vecteurs d’un ev \(E\) de dimension 2. On note \(\det\) le déterminant dans une base fixée de \(E\).
1
Démontrer que : \(\det\bigl(\vec a,\vec b\bigr) \det\bigl(\vec c,\vec d\bigr) + \det\bigl(\vec a,\vec c\bigr) \det\bigl(\vec d,\vec b\bigr) + \det\bigl(\vec a,\vec d\bigr) \det\bigl(\vec b,\vec c\bigr) = 0\).
(Commencer par le cas où \((\vec a,\vec b)\) est libre)
2
On donne six scalaires : \(d_{ab}, d_{ac}, d_{ad}, d_{cd}, d_{db}, d_{bc}\) tels que \(d_{ab} d_{cd} + d_{ac} d_{db} + d_{ad} d_{bc} = 0\).
Montrer qu’il existe des vecteurs \(\vec a, \vec b, \vec c, \vec d\) tels que : \(\forall\ x,y,\ d_{xy} = \det\bigl(\vec x,\vec y\bigr)\).