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On considère pour \(f\) et \(g\) dans \(E=C(\Rr,C)\), \[d(f,g)=\sum_n{1\over {2^n}}\min(1,\sup_{\vert x\vert\leq n}\vert f(x)-g(x)\vert).\] Vérifier que \(d\) est une métrique sur \(E\) pour laquelle il est complet.

Montrer que la convergence pour \(d\) n’est autre que la convergence uniforme sur tout compact de \(\Rr\).