Soit \(G\) un groupe, \(H\) et \(K\) deux sous-groupes de \(G .\) On note \(HK=\{ hk ; h\in H , k\in K\} .\)
1
Montrer que \(HK\) est un sous-groupe de \(G\) si et seulement si \(HK=KH .\) En déduire que si \(H\) est distingué dans \(G\) alors \(HK\) est un sous-groupe de \(G .\)
2
On suppose désormais que \(\forall h\in H , k\in K : hk=kh .\) Montrer que l’application \(f : H\times K\rightarrow G\) définie par \(\forall h\in H , k\in K : f(h,k)=hk\) est un homomorphisme de groupes.
3
Calculer le noyau et l’image de \(f .\) Donner une condition nécéssaire et suffisante pour que \(f\) soit un isomorphisme de groupes.