En divisant par \(45\) (qui est le pgcd de \(1665, 1035, 45\)) nous obtenons l’équation équivalente : \[37x+23y=1 \qquad (E)\] Comme le pgcd de \(37\) et \(23\) est \(1\), alors d’après le théorème de Bézout cette équation \((E)\) a des solutions.

L’algorithme d’Euclide pour le calcul du pgcd de \(37\) et \(23\) fourni les coefficients de Bézout: \(37\times 5 + 23 \times (-8) = 1\). Une solution particulière de \((E)\) est donc \((x_0,y_0) = (5,-8)\).

Nous allons maintenant trouver l’expression générale pour les solutions de l’équation \((E)\). Soient \((x,y)\) une solution de l’équation \(37x+23y=1\). Comme \((x_0,y_0)\) est aussi solution, nous avons \(37x_0+23y_0=1\). Faisons la différence de ces deux égalités pour obtenir \(37(x-x_0)+23(y-y_0)=0\). Autrement dit \[37(x-x_0)=-23(y-y_0) \quad (*)\] On en déduit que \(37 | 23 (y-y_0)\), or \(\pgcd(23,37)=1\) donc par le lemme de Gauss, \(37 | (y -y_0)\). (C’est ici qu’il est important d’avoir divisé par \(45\) dès le début !) Cela nous permet d’écrire \(y-y_0 = 37 k\) pour un \(k \in \Zz\).

Repartant de l’égalité \((*)\) : nous obtenons \(37(x-x_0)=-23 \times 37 \times k\). Ce qui donne \(x-x_0 = -23 k\). Donc si \((x,y)\) est solution de \((E)\) alors elle est de la forme : \((x,y)= (x_0 - 23k,y_0+37k)\), avec \(k \in \Zz\).

Réciproquement pour chaque \(k\in\Zz\), si \((x,y)\) est de cette forme alors c’est une solution de \((E)\) (vérifiez-le !).

Conclusion : les solutions sont \[\big\lbrace (5 - 23k,-8+37k) \mid k\in \Zz\big\rbrace.\]

exo7 305