Remarque. Il faut prendre garde au fait que le produit de deux matrices symétriques n’est pas nécessairement symétrique. Plus précisément, si \(A\) et \(B\) sont deux matrices symétriques alors

\(AB\in\mathcal{S}_n(\Rr)\Leftrightarrow{^t}(AB) = AB\Leftrightarrow{^t}B{^t}A = AB\Leftrightarrow BA = AB\)

et le produit de deux matrices symétriques est symétrique si et seulement si ces deux matrices commutent. Donc au départ, rien n’impose que les valeurs propres de \(AB\) soient toutes réelles .

Soient \(A\) et \(B\) deux matrices symétriques réelles positives. D’après l’exercice [ex:rou2], il existe deux matrices carrées \(M\) et \(N\) telles que \(A ={^t}MM\) et \(B={^t}NN\). On a alors \(AB ={^t}MM{^t}NN\). La matrice \(AB\) a même polynôme caractéristique que la matrice \(N({^t}MM{^t}N={^t}(M{^t}N)M{^t}N\). D’après l’exercice [ex:rou2], cette dernière matrice est symétrique positive et a donc des valeurs propres réelles positives. On a montré que les valeurs propres de la matrice \(AB\) sont réelles et positives.

\(\forall(A,B)\in(\mathcal{S}_n^+(\Rr)\), \(\text{Sp}(AB)\subset\Rr^+\).

exo7 5799