Pour \(n\in\Nn^*\), posons \(R_n=\sum_{k=n+1}^{+\infty}\frac{1}{k^2}\). Puisque la série de terme général \(\frac{1}{k^2}\), \(k\geqslant 1\), converge, la suite \((R_n)\) est définie et tend vers \(0\) quand \(n\) tend vers \(+\infty\).

\(0<\frac{1}{k^2}\underset{k\rightarrow+\infty}{\sim}\frac{1}{k(k-1)}=\frac{1}{k-1}-\frac{1}{k}\) et puisque la série de terme général \(\frac{1}{k^2}\) converge, la règle de l’équivalence des restes de séries à termes positifs convergentes permet d’affirmer que

\[\begin{align*}\ensuremath R_n&= \sum_{k=n+1}^{+\infty}\frac{1}{k^2}\underset{n\rightarrow+\infty}{\sim} \sum_{k=n+1}^{+\infty}\left(\frac{1}{k-1}-\frac{1}{k}\right)\\ &=\lim_{N \rightarrow +\infty}\sum_{k=n+1}^{N}\left(\frac{1}{k-1}-\frac{1}{k}\right)\;(\text{surtout ne pas décomposer en deux sommes})\\ &=\lim_{N \rightarrow +\infty}\left(\frac{1}{n}-\frac{1}{N}\right)\;(\text{somme télescopique})\\ &=\frac{1}{n} \end{align*}\]

ou encore \(R_n\underset{n\rightarrow+\infty}{=}\frac{1}{n}+o\left(\frac{1}{n}\right)\).

Plus précisément, pour \(n\in\Nn^*\), \(R_n-\frac{1}{n}=\sum_{k=n+1}^{+\infty}\frac{1}{k^2}-\sum_{k=n+1}^{+\infty}\frac{1}{k(k-1)}=-\sum_{k=n+1}^{+\infty}\frac{1}{k^2(k-1)}\).

Or \(-\frac{1}{k^2(k-1)}+\frac{1}{k(k-1)(k-2)}=\frac{2}{k^2(k-1)(k-2)}\) puis

\(\frac{2}{k^2(k-1)(k-2)}-\frac{2}{k(k-1)(k-2)(k-3)}=-\frac{6}{k^2(k-1)(k-2)(k-3)}\) et donc

\[\begin{align*}\ensuremath R_n&=\frac{1}{n}-\sum_{k=n+1}^{+\infty}\frac{1}{k^2(k-1)}=\frac{1}{n}-\sum_{k=n+1}^{+\infty}\frac{1}{k(k-1)(k-2)}+\sum_{k=n+1}^{+\infty}\frac{2}{k^2(k-1)(k-2)}\\ &=\frac{1}{n}-\sum_{k=n+1}^{+\infty}\frac{1}{k(k-1)(k-2)}+\sum_{k=n+1}^{+\infty}\frac{2}{k(k-1)(k-2)(k-3)}-\sum_{k=n+1}^{+\infty}\frac{6}{k^2(k-1)(k-2)(k-3)} \end{align*}\]

Ensuite \(\sum_{k=n+1}^{+\infty}\frac{1}{k^2(k-1)(k-2)(k-3)}\underset{n\rightarrow+\infty}{\sim}\sum_{k=n+1}^{+\infty}\frac{1}{k^5}\underset{n\rightarrow+\infty}{\sim}\frac{1}{4n^4}\) ou encore \(-\sum_{k=n+1}^{+\infty}\frac{6}{k^2(k-1)(k-2)(k-3)}\underset{n\rightarrow+\infty}{=}-\frac{3}{2n^4}+o\left(\frac{1}{n^4}\right)\). Puis

\[\begin{align*}\ensuremath \sum_{k=n+1}^{+\infty}\frac{1}{k(k-1)(k-2)}&=\lim_{N \rightarrow +\infty}\frac{1}{2}\sum_{k=n+1}^{N}\left(\frac{1}{(k-1)(k-2)}-\frac{1}{k(k-1)}\right)=\lim_{N \rightarrow +\infty}\frac{1}{2}\left(\frac{1}{n(n-1)}-\frac{1}{N(N-1)}\right)=\frac{1}{2n(n-1)}\\ &=\frac{1}{2n^2}\left(1-\frac{1}{n}\right)^{-1}\underset{n\rightarrow+\infty}{=}\frac{1}{2n^2}+\frac{1}{2n^3}+\frac{1}{2n^4}+o\left(\frac{1}{n^4}\right) \end{align*}\]

et

\[\begin{align*}\ensuremath \sum_{k=n+1}^{+\infty}\frac{2}{k(k-1)(k-2)(k-3)}&=\lim_{N \rightarrow +\infty}\frac{2}{3}\sum_{k=n+1}^{N}\left(\frac{1}{(k-1)(k-2)(k-3)}-\frac{1}{k(k-1)(k-2)}\right)\\ &=\lim_{N \rightarrow +\infty}\frac{2}{3}\left(\frac{1}{n(n-1)(n-2)}-\frac{1}{N(N-1)(N-2)}\right)=\frac{2}{3n(n-1)(n-2)}\\ &=\frac{2}{3n^3}\left(1-\frac{1}{n}\right)^{-1}\left(1-\frac{2}{n}\right)^{-1}\underset{n\rightarrow+\infty}{=}\frac{2}{3n^3}\left(1+\frac{1}{n}+o\left(\frac{1}{n}\right)\right)\left(1+\frac{2}{n}+o\left(\frac{1}{n}\right)\right)\\ &\underset{n\rightarrow+\infty}{=}\frac{2}{3n^3}+\frac{2}{n^4}+o\left(\frac{1}{n^4}\right) \end{align*}\]

et finalement

\(R_n\underset{n\rightarrow+\infty}{=}\frac{1}{n}-\left(\frac{1}{2n^2}+\frac{1}{2n^3}+\frac{1}{2n^4}\right)+\left(\frac{2}{3n^3}+\frac{2}{n^4}\right)-\frac{3}{2n^4}+o\left(\frac{1}{n^4}\right)\underset{n\rightarrow+\infty}{=}\frac{1}{n}-\frac{1}{2n^2}+\frac{1}{6n^3}+o\left(\frac{1}{n^4}\right)\).

\(\sum_{k=n+1}^{+\infty}\frac{1}{k^2}\underset{n\rightarrow+\infty}{=}\frac{1}{n}-\frac{1}{2n^2}+\frac{1}{6n^3}+o\left(\frac{1}{n^4}\right)\).

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