Supposons que \(f\) convienne: par hypothèse, \(f\) est de classe \(\mathcal{C}^1\), donc \(x\mapsto f(\frac{1}{x})\) est de classe \(\mathcal{C}^1\) sur \(\R^*\) et par conséquent \(f'\) aussi. Ainsi \(f\) est nécessairement de classe \(\mathcal{C}^2\) sur \(\R^*\) (en fait, en itérant le raisonnement, on montrerait facilement que \(f\) est \(\mathcal{C}^\infty\) sur \(\R^*\)).

En dérivant l’équation \(f'(x)=f\left(\frac{1}{x}\right)\), on obtient \[f''(x)=-\frac{1}{x^2}f'\left(\frac{1}{x}\right)\] et en réutilisant l’équation : \[f''(x)=-\frac{1}{x^2}f'\left(\frac{1}{x}\right)= -\frac{1}{x^2} f(x).\] Ainsi on obtient que \(f\) est solution de \(x^2y''+y=0\) sur \(\R^*\). Nécessairement, il existe \(\lambda,\mu\in\Rr\) tels que \[\forall x>0,\ f(x)=\sqrt{x}\left(\lambda\cos(\frac{\sqrt{3}}{2}\ln x) +\mu\sin(\frac{\sqrt{3}}{2}\ln x)\right)\]

Par hypothèse, \(f\) est de classe \(\mathcal{C}^1\) sur \(\R\), en particulier elle se prolonge en \(0\) de façon \(\mathcal{C}^1\). Cherchons à quelle condition sur \(\lambda,\mu\) cela est possible. Déjà, \(f(x)=\sqrt{x}\left(\lambda\cos(\frac{\sqrt{3}}{2}\ln x)+\mu\sin(\frac{\sqrt{3}}{2}\ln x)\right) \xrightarrow[x\to 0^+]{}0\) pour tous \(\lambda,\mu\) ; donc \(f(0)=0\). Mais \[\frac{f(x)-f(0)}{x-0}= \frac1{\sqrt{x}} \left(\lambda\cos(\frac{\sqrt{3}}{2}\ln x)+\mu\sin(\frac{\sqrt{3}}{2}\ln x)\right)\] n’a pas de limite en \(0\) si \(\lambda\neq0\) ou \(\mu\neq0\). En effet, pour \(x_n=e^{\frac{2}{\sqrt{3}}(-2n\pi)}\), on a \(x_n\to 0\) mais \(\frac{f(x_n)-f(0)}{x_n-0}=\frac{\lambda}{\sqrt{x_n}}\) qui admet une limite finie seulement si \(\lambda = 0\). De même avec \(x_n'=e^{\frac{2}{\sqrt{3}}(-2n\pi+\frac\pi2)}\) qui donne \(\frac{f(x_n')-f(0)}{x_n'-0}=\frac{\mu}{\sqrt{x_n'}}\) et implique donc \(\mu=0\).

Par conséquent, la seule possibilité est \(\lambda=\mu=0\). Ainsi \(f\) est la fonction nulle, sur \([0,+\infty[\). Le même raisonnement s’applique sur \(]-\infty,0]\). La fonction est donc nécessairement nulle sur \(\Rr\). Réciproquement, la fonction constante nulle est bien solution du problème initial.

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