Soit \(x\in\R\) ; \(x\) est une racine multiple de \(P\) si et seulement si \(P(x)=0\) et \(P'(x)=0\): \[\begin{array}{rcl} P(x)=P'(x) 0 &\iff& \left\{\begin{array}{l}(x+1)^7-x^7-a=0\\7(x+1)^6-7x^6=0\end{array}\right.\\ &\iff& \left\{\begin{array}{l}(x+1)x^6-x^7-a=0\qquad \text{ en utilisant la deuxième équation}\\(x+1)^6=x^6\end{array}\right.\\ &\iff& \left\{\begin{array}{l}x^6=a\\(x+1)^3=\pm x^3 \qquad \text{ en prenant la racine carrée} \end{array}\right.\\ &\iff& \left\{\begin{array}{l}x^6=a\\x+1=\pm x \qquad \text{ en prenant la racine cubique} \end{array}\right.\\ \end{array}\] qui admet une solution (\(x=-\frac{1}{2}\)) si et seulement si \(a=\frac{1}{64}\).

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