Si \(X\) et \(Y\) suivent chacune une loi \(\mathcal{N}(0,1)\), alors \(S=X+Y\) admet une densité \(h\) définie par \[h(s) = \frac{1}{2\pi}\int_{\R}^{} e^{-\frac{(s-x)^2}{2}} e^{-\frac{x^2}{2}} dx\]

Or \(-(s-x)^2-x^2 = -\frac{s^2}{2} - 2 (x-\frac{s}{2})^2\) donc

\[h(s) = \frac{1}{2\pi} e^{-\frac{s^2}{4}} \int_{\R}^{} e^{-(x-\frac{s}{2})^2 } dx = \frac{1}{2\pi} e^{-\frac{s^2}{4}} \times \sqrt{\pi} = \frac{1}{\sqrt{2}\sqrt{2\pi}}e^{-\frac{s^2}{2\sqrt{2}^2}}\]

Donc \(S\) suit une loi normale de moyenne \(\mu=0\) et d’écart-type \(\sigma=\sqrt{2}\).

Densité d'une somme