Les solutions de l’équation homogène sont les \(\lambda\cos x+\mu\sin x\). En posant \(y_1(x)=\cos x\) et \(y_2(x)=\sin x\), on va chercher les solutions sous la forme \(\lambda y_1+\mu y_2\), vérifiant \[\begin{aligned} \left\{\begin{array}{l} \lambda'y_1+\mu'y_2=0\\ \lambda'y'_1+\mu'y'_2=\mathrm{cotan}\, x \end{array}\right. &\Longleftrightarrow& \left\{\begin{array}{l} \lambda'\cos x+\mu'\sin x=0\\ \lambda'(-\sin x)+\mu'\cos x=\mathrm{cotan}\, x \end{array}\right.\\ \ &\Longleftrightarrow& \left\{\begin{array}{l} \lambda'(x)=\frac{\begin{array}{|cc|}0&\sin x\\\mathrm{cotan}\, x&\cos x \end{array}}{\begin{array}{|cc|}\cos x&\sin x\\-\sin x&\cos x \end{array}}\\ \ \\ \mu'(x)=\frac{\begin{array}{|cc|}\cos x&0\\-\sin x&\mathrm{cotan}\, x \end{array}}{\begin{array}{|cc|}\cos x&\sin x\\-\sin x&\cos x \end{array}} \end{array}\right. \end{aligned}\] d’après les formules de Cramer, où \(\begin{array}{|cc|}\cos x&\sin x\\-\sin x&\cos x \end{array}=1\). On obtient donc \[\left\{\begin{array}{l} \lambda'(x)=-\cos x\\ \mu'(x)=\frac{\cos^2x}{\sin x} \end{array}\right.\] ce qui donne une primitive \(\lambda(x)=-\sin x\).

Pour \(\mu\), on cherche à primitiver \(\frac{\cos^2x}{\sin x}\) à l’aide du changement de variable \(t=\cos x\) (et donc \(\dd t= -\sin t \,\dd x\)), on calcule une primitive \[\begin{aligned} \int \frac{\cos^2x}{\sin x}\,\dd x&=&-\int\frac{t^2}{1-t^2}\,\dd t=t-\int\frac{1}{1-t^2}\,\dd t\\ &=&t+\frac{1}{2}\ln(1-t) -\frac{1}{2}\ln(1-t)= \cos x + \frac{1}{2}\ln(1-\cos x) - \frac{1}{2}\ln(1-\cos x) \end{aligned}\] En remplaçant, les solutions générales sont les \[y(x)=c_1\cos x+c_2\sin x + (-\sin x)\cos x+\left(\cos x + \frac{1}{2}\ln(1-\cos x) - \frac{1}{2}\ln(1-\cos x)\right)\sin x\] qui se simplifie \(y(x)=c_1\cos x+c_2\sin x + \frac{1}{2}\sin x\ln\frac{1-\cos x}{1+\cos x}\), \(c_1,c_2\in\Rr\).

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