On paramètre \(\mathcal{E}\) en coordonnées sphériques par \(F(\theta,\varphi)= (\cos\theta\sin\varphi,\sin\theta\sin\varphi,1/\sqrt{5}\cos\varphi)\) avec \(\theta\in[0,2\pi[\) et \(\varphi\in [0,\pi]\). Le plan tangent est engendré par les vecteurs \(\frac{\partial F}{\partial \theta}=(-\sin\theta\sin\varphi,\cos\theta\sin\varphi,0)\) et \(\frac{\partial F}{\partial \varphi}=(\cos\theta\cos\varphi,\sin\theta\cos\varphi,-1/\sqrt{5}\sin\varphi)\). Dans cette base, la matrice de la première forme fondamentale est \(\begin{pmatrix}\sin^2\varphi&0\\0&\cos^2\varphi+1/5\sin^2\varphi\end{pmatrix}\). L’élément de volume est \(1/\sqrt{5}\sin\varphi\sqrt{1+4\cos^2\varphi}d\theta d\varphi\). L’aire de l’ellipsoïde est donc \[\begin{aligned} A[\mathcal{E}]&=&\int_{\varphi=0}^{\pi}\int_{\theta=0}^{2\pi}\frac{1}{\sqrt{5}} \sin\varphi\sqrt{1+4\cos^2\varphi} d\varphi d\theta\\ &=&2\pi\int_{\varphi=0}^{\pi}\frac{1}{\sqrt{5}} \sin\varphi\sqrt{1+4\cos^2\varphi}d\varphi\\ &=&\frac{2\pi}{\sqrt{5}}\int_{t=-1}^1\sqrt{1+4t^2}dt=\frac{\pi}{\sqrt{5}}(2\sqrt{5}+\ln(2+\sqrt{5}))\\ &=&\pi(2+\frac{\ln(2+\sqrt{5})}{\sqrt{5}}). \end{aligned}\]

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