La fonction \(f~:~t\mapsto\frac{t-1}{\ln t}\) est continue sur \(]0,1[\), prolongeable par continuité en \(0\) et \(1\) et donc est intégrable sur \(]0,1[\).

Soit \(x\in]0,1[\). Chacune des deux fonctions \(t\mapsto\frac{t}{\ln t}\) et \(t\mapsto\frac{1}{\ln t}\) se prolonge par continuité en \(0\) et est ainsi intégrable sur \(]0,x]\). On peut donc écrire

\(\int_{0}^{x}\frac{t-1}{\ln t}\;dt=\int_{0}^{x}\frac{t}{\ln t}\;dt -\int_{0}^{x}\frac{1}{\ln t}\;dt\).

Dans la première intégrale, on pose \(u = t^2\) et on obtient \(\int_{0}^{x}\frac{t}{\ln t}\;dt =\int_{0}^{x}\frac{2t}{\ln(t^2)}\;dt=\int_{0}^{x^2}\frac{1}{\ln u}\;du\) et donc

\(\int_{0}^{x}\frac{t-1}{\ln t}\;dt=\int_{0}^{x^2}\frac{1}{\ln t}\;dt -\int_{0}^{x}\frac{1}{\ln t}\;dt=\int_{x}^{x^2}\frac{1}{\ln t}\;dt\).

On note alors que, puisque \(x\in]0,1[\), \(x^2 < x\). Pour \(t\in[x^2,x]\), on a \(t\ln t < 0\) et donc \(\frac{x}{t\ln t}\leqslant\frac{t}{t\ln t}=\frac{1}{\ln t}\leqslant\frac{x^2}\ln t\) puis par croissance de l’intégrale, \(\int_{x^2}^{x}\frac{x}{t\ln t}\;dt\leqslant\int_{x^2}^{x}\frac{1}{\ln t}\;dt\leqslant\int_{x^2}^{x}\frac{x^2}{t\ln t}\;dt\) et donc

\(x^2\int_{x}^{x^2}\frac{1}{t\ln t}\;dt\leqslant\int_{x}^{x^2}\frac{1}{\ln t}\;dtx\leqslant x\int_{x}^{x^2}\frac{1}{t\ln t}\;dt\)

Maintenant, \(\int_{x}^{x^2}\frac{1}{t\ln t}\;dt =\ln|\ln(x^2)|-\ln|\ln x|=\ln2\) et on a montré que, pour tout réel \(x\) de \(]0,1[\),

\(x^2\ln2\leqslant\int_{0}^{x}\frac{t-1}{\ln t}\;dt\leqslant x\ln2\)

Quand \(x\) tend vers \(1\), on obtient

\(\int_{0}^{1}\frac{t-1}{\ln t}\;dt =\ln2\).

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