1ère solution. (n’utilisant pas les valeurs propres) Soient \(A\) la matrice de l’énoncé puis \(X =(x_i)_{1\leqslant i\leqslant n}\) un élément de \(\mathcal{M}_{n,1}(\Rr)\).

\[\begin{align*}\ensuremath {^t}XAX&= (n-1)\sum_{i=1}^{n}x_i^2 -\sum_{i\neq j}^{}x_ix_j=\sum_{i\neq j}^{}(x_i^2- x_ix_j)=\frac{1}{2}\left(\sum_{i\neq j}^{}x_i^2-2 x_ix_j+x_j^2\right)\\ &=\sum_{i\neq j}(x_i-x_j)^2\geqslant 0 \end{align*}\]

et donc la matrice \(A\) est positive. De plus, si \(X=\left(1\right)_{1\leqslant i\leqslant n}\neq0\), \({^t}XAX= 0\) et donc la matrice \(A\) n’est pas définie.

2ème solution. La matrice \(A\) est symétrique réelle. Donc ses valeurs propres sont réelles et \(A\) est diagonalisable. Par suite, la dimension de chacun de des sous-espaces propres de \(A\) est égale à l’ordre de multiplicité de la valeur propre correspondante.

On note alors que \(\text{rg}(A - nI_n) = 1\) et donc \(n\) est valeur propre de \(A\) d’ordre \(n-1\). Soit \(\lambda\) la valeur propre manquante.

\((n-1)n+\lambda=\text{Tr}A = n(n-1)\).

Donc \(\lambda= 0\). Ainsi, \(\text{Sp}(A)\subset\Rr^+\) et donc la matrice \(A\) est positive mais \(0\) est valeur propre de \(A\) et donc la matrice \(A\) n’est pas définie.

La matrice \(A\) est positive et non définie.

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