Sur l’ensemble \(\Nn\) des entiers naturels, définissons \[\begin{aligned} d(n,m)&=& 0 \ \ {\rm pour}\ m=n\\ &=& 1+{1\over{n+m}}\ \ {\rm pour}\ m\neq n \end{aligned}\]
1
Montrer que \(d\) est une métrique sur \(\Nn\) pour laquelle il est complet.
2
Construire dans \(({\Nn},d)\) une suite de boules fermées non vides emboı̂ tées dont les rayons ne tendent pas vers \(0\), et d’intersection vide.