On désire fabriquer par une imprimante 3D une boite ayant la forme d’un parallélépipède rectangle, sans couvercle sur le dessus. Le volume de cette boite doit être égal à \(0,5m^3\).
Pour minimiser la quantité de matière utilisée, on désire que la somme des aires des faces soit minimale. Quelles dimensions doit-on choisir pour fabriquer la boite ?
Indication: Se ramener à un problème d’optimisation d’une fonction de deux variables.
✅ Solution
Notons \(x,y\) et \(z\) les dimensions de la boite.
Son volume (la contrainte) est donc égale à \(xyz=0,5\).
On souhaite minimiser la fonction \(f(x,y,z)=xy+2xz+2yz\).
Comme \(z=\frac{1}{2xy}\), nous savons que ce problème revient à rechercher le minimum de la fonction \(g(x,y)=xy+\frac{1}{x}+\frac{1}{y}\) sur l’ouvert \(U=\mathbb{R}_+^* \times \mathbb{R}_+^*\).
Les dérivées partielles sont alors:
\[\frac{\partial g}{\partial x}(x,y)=y-\frac{1}{x^2} ~~\text{ et }~~
\frac{\partial g}{\partial y}(x,y)=x - \frac{1}{y^2}\]
L’unique point critique sur \(U\) est alors le point \((1,1)\).
Le test de la hessienne montre que c’est un minimum local.
\[H_g(x,y)= \begin{pmatrix}
2x^{-3} & 1 \\ 1 & 2y^{-3}
\end{pmatrix}\]
Ainsi, \(\det H_g(1,1)=3>0\) et \(\frac{\partial^2 g}{\partial x^2}(1,1)=2>0\) : \(g\) atteint un minimum local en \((1,1)\).
Ce minimum est global. En effet, l’inégalité arithmético-géométrique appliquée aux trois réels strictement positifs \(xy\), \(\frac{1}{x}\) et \(\frac{1}{y}\), dont le produit vaut \(1\), donne pour tout \((x,y)\in U\)
\[g(x,y)=xy+\frac{1}{x}+\frac{1}{y}\geq 3\sqrt[3]{xy\cdot\frac{1}{x}\cdot\frac{1}{y}}=3=g(1,1).\]
Ainsi, la boite a une aire minimale, égale à \(3\,\mathrm{m}^2\), pour les valeurs \(x=1\), \(y=1\) et \(z=\frac{1}{2}\) (en mètres).
