Posons \(f(x)=\Arctan\left(\frac{1}{2x^2}\right)-\Arctan\left(\frac{x}{x+1}\right)+\Arctan\left(\frac{x-1}{x}\right)\) pour tout \(x>0\). La fonction \(f\) est dérivable, et \[\begin{aligned} f'(x) &=& \frac{-\frac{2}{2x^3}}{1+\left(\frac{1}{2x^2}\right)^2}- \frac{\frac{1}{(1+x)^2}}{1+\left( \frac{x}{x+1} \right)^2} +\frac{\frac{1}{x^2}}{1+\left( \frac{x-1}{x} \right)^2}\\ &=& \frac{-4x}{4x^4+1}-\frac{1}{(1+x)^2+x^2}+\frac{1}{x^2+(x-1)^2}\\ &=& \frac{-4x}{4x^4+1}+\frac{-\big(x^2+(x-1)^2\big)+\big((1+x)^2+x^2\big)}{\big((1+x)^2+x^2\big)\big(x^2+(x-1)^2\big)}\\ &=& 0 \end{aligned}\] Ainsi \(f\) est une fonction constante. Or \(f(x)\xrightarrow[x\to +\infty]{}\Arctan 0-\Arctan 1+\Arctan 1=0\). Donc la constante vaut \(0\), d’où l’égalité cherchée.

Alors : \[\begin{aligned} S_n &=&\sum_{k=1}^n\Arctan\left(\frac{1}{2k^2}\right)\\ &=&\sum_{k=1}^n\Arctan\left(\frac{k}{k+1}\right)-\sum_{k=1}^n\Arctan\left(\frac{k-1}{k}\right) \quad \text{(par l'identité prouvée)}\\ &=&\sum_{k=1}^n\Arctan\left(\frac{k}{k+1}\right)-\sum_{k'=0}^{n-1}\Arctan\left(\frac{k'}{k'+1}\right) \quad \text{(en posant $k'=k-1$)}\\ &=&\Arctan\left(\frac{n}{n+1}\right)-\Arctan\left(\frac{0}{0+1}\right) \quad \text{(les sommes se simplifient)}\\ &=&\Arctan\left(1-\frac{1}{n+1}\right) \quad \text{(car $\tfrac{n}{n+1} = 1-\tfrac{1}{n+1}$)} \\ \end{aligned}\] Ainsi \(S_n\xrightarrow[n\to +\infty]{}\Arctan 1=\frac{\pi}{4}\).

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