\(x^2y'-y = 0\) \((E_1)\) Pour se ramener à l’étude d’une équation différentielle de la forme \(y'+ay=b\), on résout d’abord sur les intervalles où le coefficient de \(y'\) ne s’annule pas: on se place donc sur \(]-\infty;0[\) ou \(]0;+\infty[\). Résolution sur \(]-\infty;0[\) ou \(]0;+\infty[\). Sur chacun de ces intervalles, l’équation différentielle se réécrit \[y'-\frac{1}{x^2}y=0\] qui est une équation différentielle linéaire homogène d’ordre 1 à coefficients non constants. Ses solutions sont de la forme \(y(x)=\lambda e^{-1/x}\) (en effet, sur \(]-\infty;0[\) ou \(]0;+\infty[\), une primitive de \(\frac{1}{x^2}\) est \(\frac{-1}{x}\)). Recollement en \(0\). Une solution \(y\) de \((E_1)\) sur \(\R\) doit être solution sur \(]-\infty;0[\) et \(]0;+\infty[\), il existe donc \(\lambda_+,\ \lambda_-\in\R\) tels que \[y(x)=\left\lbrace\begin{array}{l} \lambda_+e^{-1/x}\ \mathrm{si}\ x>0\\ \lambda_-e^{-1/x}\ \mathrm{si}\ x<0 \end{array}\right.\] Il reste à voir si l’on peut recoller les deux expressions pour obtenir une solution sur \(\R\): autrement dit, pour quels choix de \(\lambda_+,\ \lambda_-\) la fonction \(y\) se prolonge-t-elle en 0 en une fonction dérivable vérifiant \((E_1)\)?

\(e^{-1/x}\xrightarrow[x\to\,0^-]{}+\infty\) et \(e^{-1/x}\xrightarrow[x\to\,0^+]{}0\), donc \(y\) est prolongeable par continuité en 0 si et seulement si \(\lambda_-=0\). On peut alors poser \(y(0)=0\), quel que soit le choix de \(\lambda_+\).
Pour voir si la fonction ainsi prolongée est dérivable en 0, on étudie son taux d’accroissement: \[\left\{\begin{array}{l} \text{pour}\ x>0,\ \frac{y(x)-y(0)}{x-0}=\frac{\lambda_+e^{-1/x}}{x}=-\lambda_+(\frac{-1}{x})e^{-1/x}\xrightarrow[x\to\,0^+]{}0\\ \ \\ \text{pour}\ x<0,\ \frac{y(x)-y(0)}{x-0}=0\xrightarrow[x\to\,0^-]{}0 \end{array}\right.\] Ainsi la fonction \(y\) est dérivable en 0 et \(y'(0)=0\).
Par construction, l’équation différentielle \((E_1)\) est satisfaite sur \(\R^*\). Vérifions qu’elle est également satisfaite au point \(x=0\): \(0^2 \cdot y'(0)-y(0)=-y(0)=0\).

Conclusion. Finalement, les solutions sur \(\R\) sont exactement les fonctions suivantes: \[y(x)=\left\lbrace\begin{array}{l} \lambda e^{-1/x}\quad \text{si}\ x>0\\ 0\qquad \text{si}\ x\le 0 \end{array}\right. \qquad (\lambda\in\R)\]

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