Par l’absurde supposons que \(\frac{\ln 3}{\ln 2}\) soit un rationnel. Il s’écrit alors \(\frac pq\) avec \(p\geqslant 0,q>0\) des entiers. On obtient \(q\ln 3=p\ln 2\). En prenant l’exponentielle nous obtenons : \(\exp (q\ln 3) = \exp(p\ln 2)\) soit \(3^q=2^p\). Si \(p \ge 1\) alors \(2\) divise \(3^q\) donc \(2\) divise \(3\), ce qui est absurde. Donc \(p=0\). Ceci nous conduit à l’égalité \(3^q=1\), donc \(q=0\). La seule solution possible est \(p=0\), \(q=0\). Ce qui contredit \(q\neq 0\). Donc \(\frac{\ln 3}{\ln 2}\) est irrationnel.

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