Soit \(r\) la rotation cherchée. Notons \(u\) le vecteur \(\frac{1}{3}(1,2,2)\) (\(u\) est unitaire) et \(\theta\) l’angle de \(r\). \(r\) est la rotation d’angle \(\theta\) autour du vecteur unitaire \(u\). On sait que pour tout vecteur \(v\) de \(\Rr^3\)

\(r(v)=(\cos\theta)v+(1-\cos\theta)(v.u)u+(\sin\theta) u\wedge v\quad(*)\)

et en particulier que \([v,r(v),u]=\sin\theta\|v\wedge u\|^2\). L’égalité \(r(j)=k\) fournit

\(\sin\theta\|j\wedge u\|^2=\left[j,r(j),u\right]=\left[u,j,k\right]=\frac{1}{3}\left|\begin{array}{ccc} 1&0&0\\ 2&1&0\\ 3&0&1 \end{array} \right|=\frac{1}{3}\).

Comme \(u\wedge j=\frac{1}{3}(i+2j+2k)\wedge j=-\frac{2}{3}j+\frac{1}{3}k\), on a \(\|j\wedge u\|^2=\frac{5}{9}\) et donc \(\sin\theta=\frac{3}{5}\). L’égalité \(r(j)=k\) fournit ensuite

\(k=(\cos\theta)j+(1-\cos\theta)\times\frac{2}{3}\times\frac{1}{3}(i+2j+2k)+\frac{3}{5}\times\frac{1}{3}(i+2j+2k)\wedge j\)

En analysant la composante en \(i\), on en déduit que \(\frac{2}{9}(1-\cos\theta)-\frac{2}{5}=0\) et donc \(\cos\theta=-\frac{4}{5}\). Ainsi, pour tout vecteur \(v=(x,y,z)\) de \(\Rr^3\), l’égalité \((*)\) s’écrit

\[\begin{align*}\ensuremath r(v)&=-\frac{4}{5}(x,y,z)+\frac{9}{5}\times\frac{1}{3}\times\frac{1}{3}(x+2y+2z)(1,2,2)+\frac{3}{5}\times\frac{1}{3} (2z-2y,2x-z,-2x+y)\\ &=\frac{1}{5}(-4x+(x+2y+2z)+(2z-2y),-4y+2(x+2y+2z)+(2x-z),-4z+2(x+2y+2z)+(-2x+y))\\ &=\frac{1}{5}(-3x+4z,4x+3z,5y)=\frac{1}{5}\left( \begin{array}{ccc} -3&0&4\\ 4&0&3\\ 0&5&0 \end{array} \right)\left( \begin{array}{c} x\\ y\\ z \end{array} \right) \end{align*}\] La matrice cherchée est

\(\left( \begin{array}{ccc} -\frac{3}{5}&0&\frac{4}{5}\\ \rule[-4mm]{0mm}{10mm} \frac{4}{5}&0&\frac{3}{5}\\ 0&1&0 \end{array} \right)\).

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