Soit \(X = \Rr[x]\) l’ensemble des polynômes. Pour \(P(x) = \sum _{k=0}^p a_k x^k\) on pose \(\|P\|= \sup_k |a_k|\), \(U(P)(x) = \sum _{k=1}^n \frac{1}{k} a_k x^k\) et \(V(P)(x) = \sum _{k=1}^n k a_k x^k\).
1
Montrer que \(\|.\|\) définit une norme et que \(U\) et \(V\) définissent des applications linéaires de \(X\) dans \(X\).
2
Examiner si \(U\) et \(V\) sont continues?