\(\Rightarrow\) Supposons que la distance \(d\) soit complète. Soit \((y_n)\) une suite de \(F\) qui converge vers \(y\in \Rr^2\). Il faut montrer que \(y\in F\). Il existe \(x_n\in\Rr\), tel que \(y_n=f(x_n)\). Comme \((y_n)\) est une suite convergente, c’est une suite de Cauchy de \(\Rr^2\), or \(d(x_p,x_q) = \|f(x_p)-f(x_q)\| = \|y_p-y_q\|\). Donc \((x_n)\) est une suite de Cauchy pour \(d\). Comme \(d\) est complète alors \((x_n)\) converge \(x\), comme \(x_n\rightarrow x\) (pour \(d\)) alors \(f(x_n)\rightarrow f(x)\) (pour \(\|.\|\)). (Remarquons que par définition de \(d\), l’application \(f:(\Rr,d)\longrightarrow (\Rr^2,\|.\|)\) est continue.) Donc \((y_n)\) converge vers \(f(x)\) et par unicité de la limite \(f(x)=y\). Donc \(y\in f(\Rr)=F\). Donc \(F\) est fermé. \(\Leftarrow\) On suppose que \(F\) est fermé. Soit \((u_n)\) une suite de Cauchy pour \((\Rr,d)\). Notons \(y_n=f(x_n)\). Comme \(d(u_p,u_q) = \|f(u_p)-f(u_q)\| = \|y_p-y_q\|\). Donc \((y_n)\) est une suite de Cauchy pour \((\Rr^2,\|.\|)\). Comme cet espace est complet alors \((y_n)\) converge vers \(y\). Comme \(y_n\in F\) et \(F\) est fermé alors \(y\in F\), donc il existe \(x\in \Rr\) tel que \(y=f(x)\). Il reste à montrer que \((x_n)\) tend vers \(x\). En effet \(d(x_n,x)=\|f(x_n)-f(x)\|=\|y_n-y\|\) tend vers \(0\). Donc \((x_n)\) tend vers \(x\) pour \(d\). Donc \(d\) est complète.

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