Soient \(A\) et \(B\) deux parties bornées de \(\R\). On sait que \(\sup A\) est un majorant de \(A\), c’est-à-dire, pour tout \(a\in A\), \(a\leqslant \sup A\). De même, pour tout \(b\in B\), \(b\le \sup B\). On veut montrer que \(\sup A+\sup B\) est un majorant de \(A+B\). Soit donc \(x\in A+B\). Cela signifie que \(x\) est de la forme \(a+b\) pour un \(a\in A\) et un \(b\in B\). Or \(a\leqslant \sup A\), et \(b \le \sup B\), donc \(x=a+b\leqslant \sup A+\sup B\). Comme ce raisonnement est valide pour tout \(x\in A+B\) cela signifie que \(\sup A+\sup B\) est un majorant de \(A+B\). On veut montrer que, quel que soit \(\epsilon>0\), \(\sup A +\sup B-\epsilon\) n’est pas un majorant de \(A+B\). On prend donc un \(\epsilon >0\) quelconque, et on veut montrer que \(\sup A +\sup B-\epsilon\) ne majore pas \(A+B\). On s’interdit donc dans la suite de modifier \(\epsilon\). Comme \(\sup A\) est le plus petit des majorants de \(A\), \(\sup A-\epsilon/2\) n’est pas un majorant de \(A\). Cela signifie qu’il existe un élément \(a\) de \(A\) tel que \(a>\sup A-\epsilon/2\). Attention: \(\sup A-\epsilon/2\) n’est pas forcément dans \(A\) ; \(\sup A\) non plus. De la même manière, il existe \(b\in B\) tel que \(b>\sup B-\epsilon/2\). Or l’élément \(x\) défini par \(x=a+b\) est un élément de \(A+B\), et il vérifie \(x>(\sup A-\epsilon/2)+(\sup B-\epsilon/2)=\sup A +\sup B-\epsilon.\) Ceci implique que \(\sup A +\sup B-\epsilon\) n’est pas un majorant de \(A+B\). \(\sup A+\sup B\) est un majorant de \(A+B\) d’après la partie 1. Mais, d’après la partie 2., dès qu’on prend un \(\epsilon>0\), \(\sup A+\sup B -\epsilon\) n’est pas un majorant de \(A+B\). Donc \(\sup A+\sup B\) est bien le plus petit des majorants de \(A+B\), c’est donc la borne supérieure de \(A+B\). Autrement dit \(\sup (A+B)= \sup A +\sup B\).

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