\[\begin{align*} \frac{\partial f}{\partial x}&= -\cos x \cos y\exp[-\sin x \cos y ] \\ \frac{\partial f}{\partial y}&= \sin x \sin y\exp[-\sin x \cos y ] \end{align*}\] etc. d’où, avec \(\frac{\partial f}{\partial x}(0,0)=-1\) et \(\frac{\partial f}{\partial y}(0,0)=0\), \[f(x,y) = f(0,0)+\frac{\partial f}{\partial x}(0,0)x+\frac{\partial f}{\partial y}(0,0)y +\ldots =1-x +\ldots\] Avec \(x=0,0184\) on trouve, pour \(\exp[\sin(3.16)\cos(0.02))]\), la valeur approchée \(1-0,0184 =0,9816\).

N.B. On peut faire mieux si nécessaire : Avec \[\begin{align*} \frac{\partial^2 f}{\partial x^2}&= (\sin x \cos y +\cos^2 x \cos^2 y)\exp[-\sin x \cos y ] \\ \frac{\partial^2 f}{\partial x \partial y}& = (\cos x \sin y+\cos x \cos y \sin x \sin y)\exp[-\sin x \cos y ] \\ \frac{\partial^2 f}{\partial y^2}&=(\sin x \cos y +\sin^2 x \sin^2 y)\exp[-\sin x \cos y ] \end{align*}\] on trouve \[f(x,y) = f(0,0)+\frac{\partial f}{\partial x}(0,0)x+\frac{\partial f}{\partial y}(0,0)y +\ldots =1-x++\tfrac 12 x^2 +\ldots\] etc.

De même, \[\begin{align*} \frac{\partial h}{\partial x}&= \frac 1 {2(1+(\sqrt{4+x}-2\exp(y))^2)\sqrt{4+x}} \\ \frac{\partial h}{\partial y}&= -\frac {2\exp(y)} {1+(\sqrt{4+x}-2\exp(y))^2} \end{align*}\] etc. d’où, avec \(\frac{\partial h}{\partial x}(0,0)=\tfrac 14\) et \(\frac{\partial h}{\partial y}(0,0)=-2\), \[h(x,y) = h(0,0)+\frac{\partial h}{\partial x}(0,0)x+\frac{\partial h}{\partial y}(0,0)y +\ldots =\tfrac 14 x-2y +\ldots .\] Avec \(x=0,03\) et \(y=0,01\) on trouve, pour \(\arctan[\sqrt{4.03}-2\exp(0.01)]\), la valeur approchée \(0,0075-0,02 =-0,00125\).

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