On note \(E\) l’ensemble des fonctions \(f\) de classe \(\mathcal{C}^1\) bijectives de \(]0,+\infty[\) sur \(]0,+\infty[\) telles que \(f' = f^{-1}\).
1
Trouver un élément de \(E\) du type \(x \mapsto c x^m\), où \(c\) et \(m\) sont réels.
2
Quelle est la limite en \(0\) de \(f\) ?
3
Montrer que \(f\) est un \(\mathcal{C}^\infty\) difféomorphisme de \(]0,+\infty[\) sur \(]0,+\infty[\).
4
Montrer que \(f\) admet un unique point fixe.
5
Soit \(g\) un deuxième élément de \(E\). Montrer que \(g\) admet le même point fixe que \(f\).