Soient \(C\in \mathcal{M}_q(\Kk)\) et \(D\in\mathcal{M}_{p,q}(\Kk)\). Soit \(\begin{array}[t]{cccc} \varphi~:&(\mathcal{M}_{p,1}(\Kk))^p&\rightarrow&\Kk\\ &(C_1,\ldots,C_p)&\mapsto&\text{det}\left( \begin{array}{cc} X&D\\ 0&C \end{array} \right) \end{array}\) où \(X=(C_1\ldots C_p)\in\mathcal{M}_p(\Kk)\).

\(\varphi\) est linéaire par rapport à chacune des colonnes \(C_1\),…, \(C_p\).

Si il existe \((i,j)\in\llbracket1,p\rrbracket^2\) tel que \(i\neq j\) et \(C_i=C_j\), alors \(\varphi(C_1,\ldots,C_p)=0\).

Ainsi, \(\varphi\) est une forme \(p\)-linéaire alternée sur l’espace \(\mathcal{M}_{p,1}(\Kk)\) qui est de dimension \(p\). On sait alors qu’il existe \(\lambda\in\Kk\) tel que \(\varphi=\lambda\;\text{det}_{\mathcal{B}_0}\) (où \(\text{det}_{\mathcal{B}_0}\) désigne la forme déterminant dans la base canonique de \(\mathcal{M}_{p,1}(\Kk)\)) ou encore il existe \(\lambda\in\Kk\) indépendant de \((C_1,\ldots,C_p)\) tel que \(\forall (C_1,\ldots,C_p)\in(\mathcal{M}_{p,1}(\Kk))^p\), \(f(C_1,\ldots,C_p)=\lambda\;\text{det}_{\mathcal{B}_0}(C_1,\ldots,C_p)\) ou enfin il existe \(\lambda\in\Kk\) indépendant de \(X\) tel que \(\forall X\in\mathcal{M}_{p}(\Kk)\), \(\text{det}\left( \begin{array}{cc} X&D\\ 0&C \end{array} \right)=\lambda\;\text{det}(X)\). Pour \(X=I_p\), on obtient \(\lambda=\text{det}\left( \begin{array}{cc} I_p&D\\ 0&C \end{array} \right)\) et donc

\(\forall B\in\mathcal{M}_p(\Kk)\), \(\text{det}\left( \begin{array}{cc} B&D\\ 0&C \end{array} \right)=\text{det}(B)\times\text{det}\left( \begin{array}{cc} I_p&D\\ 0&C \end{array} \right)\).

De même, l’application \(Y\mapsto\text{det}\left( \begin{array}{cc} I_p&D\\ 0&Y \end{array} \right)\) est une forme \(q\)-linéaire alternée des lignes de \(Y\) et donc il existe \(\mu\in\Kk\) tel que \(\forall Y\in\mathcal{M}_q(\Kk)\), \(\text{det}\left( \begin{array}{cc} I_p&D\\ 0&Y \end{array} \right)=\mu\;\text{det}(Y)\) puis \(Y=I_q\) fournit \(\mu=\text{det}\left( \begin{array}{cc} I_p&D\\ 0&I_q \end{array} \right)\) et donc

\(\forall B\in\mathcal{M}_p(\Kk)\), \(\forall C\in\mathcal{M}_q(\Kk)\), \(\forall D\in\mathcal{M}_{p,q}(\Kk)\), \(\text{det}\left( \begin{array}{cc} B&D\\ 0&C \end{array} \right)=\text{det}(B)\times\text{det}(C)\times\text{det}\left( \begin{array}{cc} I_p&D\\ 0&I_q \end{array} \right)=\text{det}(B)\times\text{det}(C)\),

(en supposant acquise la valeur d’un déterminant triangulaire qui peut s’obtenir en revenant à la définition d’un déterminant et indépendamment de tout calcul par blocs).

\(\forall (B,C,D)\in\mathcal{M}_p(\Kk)\times\mathcal{M}_q(\Kk)\times\mathcal{M}_{p,q}(\Kk)\), \(\text{det}\left( \begin{array}{cc} B&D\\ 0&C \end{array} \right)=\text{det}(B)\times\text{det}(C)\).

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