On note \(a = \sqrt[3]{5\sqrt{2}+7} - \sqrt[3]{5\sqrt{2}-7}\). On élève au cube et on utilise les propriétés des racines (cubiques, ici) : \[\begin{align*} \left(\sqrt[3]{5\sqrt{2}+7} - \sqrt[3]{5\sqrt{2}-7} \right)^3 &= \left(\sqrt[3]{5\sqrt{2}+7}\right)^3 - 3 \left(\sqrt[3]{5\sqrt{2}+7}\right)^2\sqrt[3]{5\sqrt{2}-7}+3\sqrt[3]{5\sqrt{2}+7}\left(\sqrt[3]{5\sqrt{2}-7}\right)^2 - \left(\sqrt[3]{5\sqrt{2}-7}\right)^3\\ &=\left(5\sqrt{2}+7\right) - 3 \sqrt[3]{\left(5\sqrt{2}+7\right)\left(5\sqrt{2}+7\right)\left(5\sqrt{2}-7\right)}\\&\quad+ 3 \sqrt[3]{\left(5\sqrt{2}+7\right)\left(5\sqrt{2}-7\right)\left(5\sqrt{2}-7\right)} - \left(5\sqrt{2}-7\right) \\ &= 14 - 3\sqrt[3]{\left(5\sqrt{2}+7\right)\left(\left(5\sqrt{2}\right)^2-7^2\right)} + 3\sqrt[3]{\left(5\sqrt{2}-7\right)\left(\left(5\sqrt{2}\right)^2-7^2\right)} \\ &= 14 - 3\sqrt[3]{5\sqrt{2}+7} + 3\sqrt[3]{5\sqrt{2}-7} = 14 - 3\left(\sqrt[3]{5\sqrt{2}+7} - \sqrt[3]{5\sqrt{2}-7}\right) \end{align*}\] Ainsi, \(a^3=14-3a\). Il faut trouver les solutions de cette équation. On constate que \(2\) est une solution. En factorisant : \[a^3+3a-14 = (a-2)(a^2+2a+7)\] et l’équation \(a^2+2a+7=0\) n’admet pas de solution (\(\Delta=-24\)). La seule solution possible est donc \(2\) et finalement \[\boxed{ \sqrt[3]{5\sqrt{2}+7} - \sqrt[3]{5\sqrt{2}-7} = 2.}\]

Simplification avec des racines cubiques