Soit \(u = (u_n)_{n\in\Nn}\) une suite bornée de l’espace normé \((E,\|\;\|)\) ayant une unique valeur d’adhérence que l’on note \(\ell\). Montrons que la suite \(u\) converge vers \(\ell\).

Supposons par l’absurde que la suite \(u\) ne converge pas vers \(\ell\). Donc

\(\exists\varepsilon>0/\;\forall n_0\in\Nn,\;\exists n\geqslant n_0/\;\|u_n-\ell\|\geqslant\varepsilon\)\((*)\).

\(\varepsilon\) est ainsi dorénavant fixé.

En appliquant \((*)\) à \(n_0 = 0\), il existe un rang \(\varphi(0)\geqslant n_0 = 0\) tel que \(\|u_{\varphi(0)}-\ell\|\geqslant\varepsilon\).

Puis en prenant \(n_0=\varphi(0)+1\), il existe un rang \(\varphi(1)>\varphi(0)\) tel que \(\|u_{\varphi(1)}-\ell\|\geqslant\varepsilon\) ... et on construit ainsi par récurrence une suite extraite \((u_{\varphi(n)})_{n\in\Nn}\) telle que \(\forall n\in\Nn\), \(\|u_{\varphi(n)}-\ell\|\geqslant\varepsilon\).

Maintenant, la suite \(u\) est bornée et il en est de même de la suite \((u_{\varphi(n)})\). Puisque \(E\) est de dimension finie, le théorème de Bolzano-Weierstrass permet d’affirmer qu’il existe une suite \((u_{\psi(n)})_{n\in\Nn}\) extraite de \((u_{\varphi(n)})\) et donc de \(u\) convergeant vers un certain \(\ell'\in E\). \(\ell'\) est donc une valeur d’adhérence de la suite \(u\). Mais quand \(n\) tend vers \(+\infty\) dans l’inégalité \(\|u_{\psi(n)}-\ell\|\geqslant\varepsilon\), on obtient \(\|\ell'-\ell\|\geqslant\varepsilon\) et donc \(\ell\neq\ell'\). Ceci constitue une contradiction et donc \(u\) converge vers \(\ell\).

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