On procède par récurrence sur \(n=\dim E\). Pour \(n=1\), en confondant \(E\) et \(\R\), \(C\) est un intervalle dense, c’est \(\R\). Pour \(n\ge 2\), soit \(E = H\oplus{<a>}\) où \(H\) est un hyperplan de \(E\). On montre ci-dessous que \(C' = C \cap H\) est une partie de \(H\) convexe et dense, donc égale à \(H\), d’où \(H\subset C\) et ce pour tout \(H\). Ainsi \(C=E\).

Densité de \(C'\) : soit \(x\in H\), et \((y_k)\), \((z_k)\) des suites d’éléments de \(C\) convergeant respectivement vers \(x+a\) et \(x-a\). On écrit \(y_k = y'_k + \lambda_ka\) et \(z_k = z'_k + \mu_ka\) avec \(y'_k,z'_k\in H\) et \(\lambda_k,\mu_k\in\R\). Par équivalence des normes en dimension finie, on a \(\lambda_k\xrightarrow[k\to\infty]{}1\) et \(\mu_k\xrightarrow[k\to\infty]{}-1\), donc le point \(x_k = \frac{\lambda_kz_k-\mu_ky_k}{\lambda_k-\mu_k}\) est bien défini et appartient à \(C'\) pour \(k\) assez grand, et converge vers \(x\).

Remarque : Si \(E\) est de dimension infinie, alors il contient des hyperplans non fermés, donc des parties strictes, convexes denses.

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