Soit \(X_1, \ldots, X_n\) un échantillon de loi uniforme sur \([0, q]\).
Par la méthode des moments, proposer un estimateur de \(q\). Montrer sa consistance et sa normalité asymptotique. En déduire un intervalle de confiance asymptotique de niveau \(1 - \alpha\).
Soit \(q_0 > 0\), proposer un test de niveau asymptotique \(\alpha\) pour tester \(H_0 : q = q_0\) contre \(H_1 : q \neq q_0\).
Calculer l’estimateur du maximum de vraisemblance et calculer son risque quadratique.
Calculer la loi limite de \(n(q_{MV} - q)\).
Déterminer \(c_{\alpha,n}\) tel que \([X_{(n)}, c_{\alpha,n}X_{(n)}]\) soit un intervalle de confiance de niveau \(1 - \alpha\).
Calculer la médiane de \(X_1\) et en déduire un nouvel estimateur de \(q\). Donner sa normalité asymptotique ainsi qu’un nouvel intervalle de confiance asymptotique.
Quel intervalle choisiriez-vous ?