Soit \(G\) la fonction génératrice de \(X_1\). Comme les \(X_n\) ont la même loi que \(X_1\), \(G_{X_n}=G\). Par indépendance, la fonction génératrice de \(S_n=X_1+\cdots+X_n\) est \(G_{S_n}=G_{X_1}G_{X_2}\ldots G_{X_n}=G^n\). \[\left\{\omega\in\Omega\mid Y(\omega)=k\right\}=\bigcup_{n=1}^{+\infty}\{\omega\in\Omega\mid N(\omega)=n,\ X_1(\omega)+\cdots+X_n(\omega)=k\}\] et cette union d’ensembles est disjointe, donc \(\displaystyle P(Y=k)=\sum_{n=1}^{+\infty}P(N=n,\ X_1+\cdots+X_n=k).\)
De plus, pour \(n\) fixé, les variables aléatoires \(N\) et \(X_1+\cdots+X_n\) sont indépendantes, donc \[P(Y=k)=\sum_{n=1}^{+\infty}P(N=n)P(X_1+\cdots+X_n=k).\]

Les séries génératrices convergent pour \(|x|\leq 1\). Pour tout \(x\in [0,1]\), on a : \[\begin{aligned} G_Y(x)&=&\sum_{k=0}^{+\infty}\sum_{n=1}^{+\infty}P(N=n)P(X_1+\cdots+X_n=k)x^k =\sum_{n=1}^{+\infty}P(N=n)\sum_{k=0}^{+\infty}P(S_n=k)x^k\\ &&\mbox{ (tous les termes sont positifs donc on peut inverser les sommes par Fubini-Tonelli)}\\ G_Y(x)&=&\sum_{n=1}^{+\infty}P(N=n)G_{S_n}(x) =\sum_{n=1}^{+\infty}P(N=n)(G(x))^k=\sum_{n=0}^{+\infty}P(N=n)(G(x))^k =G_N(G(x)) \end{aligned}\] (on peut commencer la somme à \(n=0\) car \(P(N=0)=0\)). Conclusion : \(G_Y=G_N\circ G\) (l’égalité des séries pour \(x\geq 0\) entraîne l’égalité des séries partout par identifications des coefficients).

Les fonctions génératrices sont toujours définies sur \([-1,1]\). Comme \(X_1\) et \(N\) sont intégrables, \(G_N\) et \(G\) sont dérivables et \(G_N'(1)=E(N), G'(1)=E(X_1)\) (\(G_N\) et \(G\) n’étant définies a priori que sur \([-1,1]\), \(G_N'(1)\) et \(G'(1)\) sont en fait des dérivée à gauche en \(1\), les dérivées à droite ne sont peut-être pas définies). Donc \(G_Y=G_N\circ G\) est dérivable par composition (remarquons que \(|G(x)|\leq\displaystyle\sum_{k=0}^{+\infty} P(X_1=k)=1\) – c’est le cas pour toute fonction génératrice – donc \(G([-1,1])\subset [-1,1]\) et la composition est bien définie). Comme \(G(1)=1\), on a \(G_Y'(1)=G'(1)G'_N(1)\). Conclusion : \(Y\) est intégrable et \(E(Y)=E(X_1)E(N)\).

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