La fonction \(f\) est de classe \(C^1\) sur \(\Rr^2\) en tant que polynôme à plusieurs variables. Donc, si \(f\) admet un extremum local en \((x_0,y_0)\in\Rr^2\), \((x_0,y_0)\) est un point critique de \(f\). Soit \((x,y)\in\Rr^2\).

\[\begin{align*}\ensuremath \left\{ \begin{array}{l} \frac{\partial f}{\partial x}(x,y)=0\\ \rule{0mm}{7mm} \frac{\partial f}{\partial y}(x,y)=0 \end{array} \right.&\Leftrightarrow\left\{ \begin{array}{l} -4(x-y)+4x^3=0\\ 4(x-y)+4y^3=0 \end{array} \right.\Leftrightarrow\left\{ \begin{array}{l} x^3+y^3=0\\ -4(x-y)+4x^3=0 \end{array} \right.\Leftrightarrow\left\{ \begin{array}{l} y=-x\\ x^3-2x=0 \end{array} \right.\\ &\Leftrightarrow(x,y)\in\left\{(0,0),\left(\sqrt{2},\sqrt{2}\right),\left(-\sqrt{2},-\sqrt{2}\right)\right\}. \end{align*}\]

Réciproquement, \(f\) est plus précisément de classe \(C^2\) sur \(\Rr^2\) et

\(r(x,y)t(x,y)-s^2(x,y)=(-4+12x^2)(-4+12y^2)-(4)^2=-48x^2-48y^2+144x^2y^2=48(3x^2y^2-x^2-y^2)\)

\((rt-s^2)\left(\sqrt{2},\sqrt{2}\right)=48(12-2-2)>0\). Donc \(f\) admet un extremum local en \(\left(\sqrt{2},\sqrt{2}\right)\). Plus précisément, puisque \(r\left(\sqrt{2},\sqrt{2}\right)=2\times12-4=20>0\), \(f\) admet un minimum local en \(\left(\sqrt{2},\sqrt{2}\right)\). De plus, pour \((x,y)\in\Rr^2\),

\[\begin{align*}\ensuremath f(x,y)-f\left(\sqrt{2},\sqrt{2}\right)&=-2(x-y)^2+x^4+y^4-8=x^4+y^4-2x^2-2y^2+4xy+8\\ &\geqslant x^4+y^4-2x^2-2y^2-2(x^2+y^2)+8=(x^4-4x^2+4)+(y^4-4y^2+4)=(x^2-2)^2+(y^2-2)^2\\ &\geqslant0. \end{align*}\]

et \(f\left(\sqrt{2},\sqrt{2}\right)\) est un minimum global.

Pour tout \((x,y)\in\Rr^2\), \(f(-x,-y)=f(x,y)\) et donc \(f\) admet aussi un minimum global en \(\left(-\sqrt{2},-\sqrt{2}\right)\) égal à \(8\).

\(f(0,0)=0\). Pour \(x\neq0\), \(f(x,x)=2x^4>0\) et donc \(f\) prend des valeurs strictement supérieures à \(f(0,0)\) dans tout voisinage de \((0,0)\). Pour \(x\in\left]-\sqrt{2},\sqrt{2}\right[\setminus\{0\}\), \(f(x,0)=x^4-2x^2=x^2(x^2-2)<0\) et \(f\) prend des valeurs strictement inférieures à \(f(0,0)\) dans tout voisinage de \((0,0)\). Finalement, \(f\) n’admet pas d’extremum local en \((0,0)\).

\(f\) admet un minimum global égal à \(8\), atteint en \(\left(\sqrt{2},\sqrt{2}\right)\) et \(\left(-\sqrt{2},-\sqrt{2}\right)\).

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