Soient \(X_1,...,X_n\) des variables aléatoires indépendantes et de même loi ayant pour densité : \[f_\theta \colon x \mapsto \left\{ \begin{array}{ll} \frac{2x}{\theta^2} & \text{ si } 0 \leq x \leq \theta \\ 0 & \text{ sinon.} \end{array} \right.\] où \(\theta \in [\theta_{min}; \theta_{max}]\) est un paramètre, avec \(0 < \theta_{min} < \theta_{max}\) des constantes connues (par exemple, \(\theta_{min}=1, \theta_{max}=10\)).
Montrer que pour tout \(\theta \in [\theta_{min}; \theta_{max}]\), \(f_\theta\) est une densité de probabilité.
Calculer \(\mathbb{E}(X_1)\) et \(\mathbb{V}(X_1)\). En déduire l’espérance et la variance de la variable aléatoire \(\overline{X}_n = \frac{1}{n}\sum_{i=1}^n X_i\).
On pose \(T_n = \frac{3}{2n} \sum_{i=1}^{n} X_i = \frac{3}{2}\overline{X}_n\). Montrer que \(T_n\) est un estimateur sans biais et convergent de \(\theta\).
À l’aide du Théorème Central Limite, donner une approximation de la loi de \(T_n\) pour \(n\) grand.
Démontrer qu’il existe une constante \(M_n\) ne dépendant pas de \(\theta\) (mais pouvant dépendre de \(\theta_{min}, \theta_{max}\) et \(n\)) telle que si \(\lambda >0\), \[\PP(|T_n-\theta| < \lambda) \geq 1-\frac{M_n}{\lambda^2}\]
En utilisant le résultat précédent, déterminer un intervalle de confiance permettant d’estimer \(\theta\) avec un niveau de confiance d’au moins \(95\%\).