\(\mathcal N(\mu,\sigma)\) désigne la loi normale de moyenne \(\mu\) et d’écart-type \(\sigma\). Les quantiles sont à gauche : \(t_{\nu;\gamma}\) pour la loi \(St(\nu)\) et \(q_{\nu;\gamma}\) pour la loi \(\chi^2(\nu)\), avec une probabilité \(\gamma\) à gauche du quantile.
Un centre médical mène des études statistiques sur le taux de cholestérol de son personnel, mesuré en centigrammes par litre de sang. Les observations sur 20 individus supposés sains, tirés au sort, sont les suivantes :
| Taux de cholestérol en cg/L | 120 | 160 | 200 | 240 | 280 | 320 |
|---|---|---|---|---|---|---|
| Nombre de sujets observés | 2 | 4 | 5 | 4 | 3 | 2 |
Le taux de cholestérol chez un individu sain (noté \(X\)) est supposé suivre une loi normale \(\mathcal N(\mu,\sigma)\), avec \(\sigma>0\). Les observations sont modélisées par des variables indépendantes de cette même loi.
Calculer, au tableur, la moyenne observée \(\bar x\) et la variance corrigée \(s^2\) des 20 observations.
Donner l’intervalle de confiance de l’espérance de \(X\), centré sur \(\overline{x}\), au risque \(\alpha=0{,}01\).
On admet, sous le modèle normal, que \(\frac{19S_{20}^2}{\sigma^2}\) suit la loi \(\chi^2(19)\). En déduire un intervalle de confiance de niveau \(99\%\) pour la variance \(\sigma^2\), puis pour l’écart-type \(\sigma\). Ces intervalles sont-ils centrés sur \(s^2\) et sur \(s\) ?