Soit \(\theta\in\left]1,+\infty\right[\) un paramètre inconnue. Soit \(X\) une variable aléatoire absolument continue ayant la fonction de densité suivante : \[g_{\theta}:x\mapsto\theta x^{\theta-1}\mathbf{1}_{]0,1[}(x).\]
À l’aide de la méthode du maximum de vraisemblance, proposer un estimateur de \(\theta\).
On pose \(Y=-\ln(X)\). Montrer que \(Y\) suit une loi exponentielle de paramètre \(\theta\).
Soit \((X_1,...,X_n)\) un échantillon de taille \(n\in\N^*\) de \(X\). On pose pour tout \(k\in \left[\left|1,n\right|\right]\) : \[Y_k=-\ln(X_k) \text{ et } S_n=\sum_{k=1}^n Y_k.\]
Montrer que \(\frac{S_n}{n}\) est un estimateur sans biais de \(\frac{1}{\theta}\).
Montrer que \(\frac{S_n}{n}\) est un estimateur de \(\frac{1}{\theta}\) convergeant en moyenne quadratique.
Montrer que la suite de variables aléatoires \(\left(\frac{n}{S_n}\right)\) converge presque sûrement vers \(\theta\).
On souhaite vérifier numériquement certaines propriétés de l’estimateur \(\hat{\theta} = \frac{n}{S_Y}\). Rappeler comment simuler une variable aléatoire \(Y\) suivant une loi exponentielle \(\mathcal{E}(\lambda)\) à partir d’une variable aléatoire \(U\) suivant une loi uniforme \(\mathcal{U}[0,1]\).
On suppose que l’on sait simuler une loi uniforme \(\mathcal{U}[0,1]\) à l’aide de la fonction rand(). En déduire une méthode permettant de simuler la variable aléatoire \(\hat{\theta}\). On pourra écrire un code en python.