Soit \(X\) le nombre d’incidents de paiement pour un crédit à la consommation, observés sur la durée du prêt. On suppose que \(X\) suit une loi de Poisson de paramètre \(\lambda>0\). On dispose d’un échantillon de \(n\) clients de la banque A, modélisé par des variables \(X_1,\ldots,X_n\) indépendantes et de même loi que \(X\).
Donner un estimateur de \(\lambda\) sans biais et convergent.
On désire tester l’hypothèse nulle selon laquelle les clients de la banque A sont faiblement risqués, avec la référence d’un incident en moyenne par crédit : \[\begin{cases} H_0:\lambda=1,\\ H_1:\lambda>1. \end{cases}\] Pour un échantillon de 100 clients, on observe les résultats suivants :
| Incidents | 0 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | Total |
|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
| Effectifs | 38 | 31 | 16 | 10 | 2 | 2 | 1 | 100 |
Que peut-on conclure pour un risque de première espèce de \(5\%\), en utilisant l’approximation normale ? Comparer ensuite avec le test exact de Poisson. Sur un même graphique, superposer les effectifs observés et les effectifs théoriques associés à une loi de Poisson de paramètre \(\lambda=1\).