En 1879, Michelson effectue 100 mesures de la vitesse de la lumière (en km\(\cdot\)s\(^{-1}\)). On modélise ces mesures comme des variables aléatoires \((X_i)\) i.i.d. gaussiennes d’espérance \(\mu\) et d’écart-type \(\sigma\) inconnus. Sur cet échantillon, on dispose des observations suivantes : \[\bar{x} = 299\,852 \text{ km$\cdot$s$^{-1}$}, \qquad s = 79 \text{ km$\cdot$s$^{-1}$} \quad (n = 100).\] L’estimateur \(S\) utilisé ici est \(S = \sqrt{\frac{1}{n-1}\sum_{i=1}^n (X_i - \overline{X})^2}\).
À l’époque, la valeur communément admise était \(c_{1879} = 299\,840\) km\(\cdot\)s\(^{-1}\). Aujourd’hui, elle est établie à \(c_{2026} = 299\,792\) km\(\cdot\)s\(^{-1}\).
Dans tout l’exercice, le risque de première espèce vaut \(\alpha = 5\%\).
On souhaite comparer les mesures de Michelson aux deux valeurs de référence de la vitesse de la lumière : \(c_{1879} = 299\,840\) km\(\cdot\)s\(^{-1}\) et \(c_{2026} = 299\,792\) km\(\cdot\)s\(^{-1}\). Effectuer deux tests statistiques distincts :
un premier test avec \(H_0 : \mu = c_{1879}\) contre \(H_1 : \mu \neq c_{1879}\) ;
un second test avec \(H_0 : \mu = c_{2026}\) contre \(H_1 : \mu \neq c_{2026}\).
Pour chaque test, construire la statistique, la région de rejet et conclure.
On souhaite à présent tester l’écart-type \(\sigma\) de la mesure. Sous \(H_0 : \sigma = \sigma_0\), la statistique de test usuelle est : \[K = (n-1)\,\frac{S^2}{\sigma_0^2} \sim \chi^2(n-1).\] La table du \(\chi^2\) n’étant pas disponible pour \(d = n-1 = 99\) degrés de liberté, on admet l’approximation de Fisher : si \(K \sim \chi^2(d)\), alors pour \(d\) grand, la statistique : \[Z = \sqrt{2K} - \sqrt{2d-1}\] suit approximativement une loi \(\mathcal{N}(0, 1)\).
On rappelle que le quantile d’ordre \(p\) d’une loi est la valeur \(q_p\) telle que \(P(X \le q_p) = p\).
À l’aide de cette approximation et d’une table de la loi normale centrée réduite, déterminer une approximation du quantile d’ordre \(95\%\) de la loi \(\chi^2(99)\), noté \(q_{\chi^2(99),\, 0{,}95}\).
Tester \(H_0 : \sigma = 90\) contre \(H_1 : \sigma = 91\) au risque \(5\%\). Calculer le risque de seconde espèce \(\beta\).